Faire Quoten berechnen: 1X2 und Asian Handicap aus der Poisson-Verteilung

Wer Wettquoten bewerten will, braucht eine eigene Schätzung der Wahrscheinlichkeiten. Eine der klassischen Methoden dafür ist die Poisson-Verteilung: Man schätzt, wie viele Tore jede Mannschaft im Schnitt erzielen wird, und rechnet daraus aus, wie wahrscheinlich jedes mögliche Ergebnis ist. Aus den Ergebnissen folgen Siegchancen, Quoten und die Bewertung von Handicap-Märkten. In diesem Beitrag rechnen wir ein vollständiges Beispiel durch. Das Thema wird auch auf dem deutschsprachigen Wettblog von Crimson Corporation behandelt; Aufbau, Zahlen und Formulierungen hier sind eigenständig.

Ausgangslage: Zwei Torerwartungen

Als Eingabe benötigt das Verfahren zwei Zahlen: die erwarteten Tore der Heimmannschaft und die der Gastmannschaft. In unserem fiktiven Beispiel nehmen wir 1,6 für die Heimmannschaft und 1,1 für die Gäste an. Woher solche Werte kommen, ist eine eigene Frage; üblich sind Angriffs- und Abwehrstärken, Ratings oder xG-Daten (siehe Elo-Rating und xG). Hier geht es nur um den Rechenweg ab diesem Punkt. Die Grundlagen der Verteilung erklärt der Beitrag Poisson-Verteilung im Fußball.

Die Ergebnismatrix

Für jede Mannschaft berechnet man separat die Wahrscheinlichkeit für 0, 1, 2, 3 und mehr Tore. Wir nehmen an, dass beide Tore-Zahlen voneinander unabhängig sind, eine Vereinfachung, die wir weiter unten diskutieren. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wie 2:1 einfach das Produkt: P(Heim 2 Tore) × P(Gast 1 Tor). Bei 1,6 Heimtoren ergeben sich für 0, 1, 2 Tore etwa 20,2 %, 32,3 % und 25,8 %; bei 1,1 Gasttoren sind es 33,3 %, 36,6 % und 20,1 %. Das Ergebnis 1:1 hat demnach eine Wahrscheinlichkeit von rund 11,8 % (0,323 × 0,366), 2:1 rund 9,5 %, 1:0 rund 10,8 %.

Wer diese Rechnung für alle Ergebnisse bis etwa 10:10 durchführt, erhält eine Matrix, deren Felder sich zu 100 % addieren. Sie ist die Grundlage für jeden Markt: Man muss nur die Felder zusammenzählen, die zu einem Wettausgang gehören.

Von der Matrix zu 1X2

Der Heimsieg umfasst alle Felder, in denen die Heimtore größer sind als die Gasttore. Das Unentschieden besteht aus der Diagonalen (0:0, 1:1, 2:2 usw.), der Auswärtssieg aus den übrigen Feldern. In unserem Beispiel ergibt die Summation: Heimsieg 49,0 %, Unentschieden 24,9 %, Auswärtssieg 26,2 %. Die fairen Quoten betragen damit etwa 2,04 für den Heimsieg, 4,02 für das Remis und 3,82 für den Auswärtssieg. Reale Quoten liegen wegen der Marge darunter, wie Wettquoten in Wahrscheinlichkeiten umrechnen zeigt.

Draw No Bet

Bei Draw No Bet wird der Einsatz bei Remis zurückgezahlt. Die Remis-Fälle scheiden also aus der Rechnung aus, und die verbleibenden Wahrscheinlichkeiten müssen auf 100 % hochgerechnet werden. Für den Heimsieg gilt: 49,0 ÷ (49,0 + 26,2) ≈ 65,2 %. Die faire Quote liegt bei etwa 1,53, die des Auswärtssiegs bei rund 2,87 (Gegenwahrscheinlichkeit 34,8 %). Ein Vergleich lohnt sich: Die Quote 1,53 für Draw No Bet ist niedriger als die 2,04 für den reinen Heimsieg, weil das Remis als Absicherung eingepreist ist. Wer das Remis für wahrscheinlicher hält, als der Markt es tut, findet in Draw No Bet und im Handicap 0 deshalb einen anderen Preis für dieselbe Einschätzung. Der Zusammenhang zum Handicap 0 erläutert der Beitrag Draw No Bet und AHC 0,0.

Asian Handicap -0,25 und +0,25

Die Viertelhandicaps sind eine Mischung aus zwei Wetten. Ein Heim-Handicap von -0,25 ist zur Hälfte Draw No Bet (Handicap 0) und zur Hälfte Handicap -0,5. Bei einem Heimsieg gewinnen beide Hälften, bei einem Remis wird die erste Hälfte erstattet und die zweite verliert, bei einer Niederlage verlieren beide. Die faire Quote o ergibt sich aus der Bedingung, dass der Erwartungswert null ist: 0,490 × (o − 1) − 0,249 × 0,5 − 0,262 × 1 = 0. Daraus folgt o ≈ 1,79. Für das Gast-Handicap +0,25 gilt das Spiegelbild: Bei Auswärtssieg gewinnt der Einsatz voll, bei Remis gewinnt eine Hälfte, die andere wird erstattet, bei Heimsieg ist alles verloren. Die faire Quote liegt hier bei etwa 2,27.

Die Quoten sind keine Zufallszahlen: Sie hängen eng zusammen. Wird das Remis wahrscheinlicher, steigt der Wert des Handicaps +0,25 für die Gäste, und die faire Quote für -0,25 beim Favoriten sinkt. Eine ausführliche Erklärung der Abrechnung finden Sie im Beitrag Asian Handicap erklärt.

Vom Modell zum Markt

Mit den fairen Quoten lässt sich nun prüfen, ob ein Angebot Wert hat. Bietet ein Buchmacher für den Heimsieg 2,10, liegt die implizite Wahrscheinlichkeit bei 47,6 %. Das Modell sagt 49,0 %. Der Erwartungswert ist dann 0,490 × 2,10 − 1 ≈ +0,03, also rund drei Prozent des Einsatzes. Das klingt nach einem Vorteil, aber eine einzelne Schätzung ist unsicher. Lägen die wahren Torerwartungen nur geringfügig anders, würde das Vorzeichen kippen. Wie man mit dieser Unsicherheit umgeht, behandelt Expected Value bei Wettquoten.

Grenzen des Verfahrens

Der Poisson-Ansatz ist ein Modell, keine Wahrheit. Er unterstellt Unabhängigkeit der Torzahlen beider Teams, obwohl Spielstände das Verhalten beeinflussen. Er neigt dazu, Unentschieden leicht zu unterschätzen, weshalb viele Praktiker Korrekturen für niedrige Ergebnisse wie 0:0 und 1:1 einbauen. Er behandelt jede Minute gleich, obwohl nach frühen Toren anders gespielt wird. Und er ist so gut wie die Eingaben: Falsche Torerwartungen führen zu falschen Quoten, egal wie sauber gerechnet wird. Hinzu kommt der Heimvorteil: Er steckt entweder schon in den Torerwartungen oder wird als gesonderter Faktor aufgeschlagen, und beide Wege führen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Wer den Faktor doppelt berücksichtigt, überschätzt die Heimmannschaft systematisch. Schließlich sollte man bei Randwerten vorsichtig sein: Die Wahrscheinlichkeit sehr hoher Ergebnisse hängt stark von den Annahmen am Rand der Verteilung ab, und kleine Unterschiede in der Torerwartung verändern sie überproportional. Deshalb gehört zu jedem solchen Modell eine Prüfung auf neuen Daten, wie in der Methodik beschrieben. Wetten bleibt riskant, siehe Risikohinweise. Weiter geht es mit Over/Under und Beide treffen aus Poisson.