Poisson-Verteilung: Wie aus erwarteten Toren Ergebniswahrscheinlichkeiten werden
Fußballspiele produzieren vergleichsweise wenige Tore. Deshalb wird die Poisson-Verteilung häufig als Ausgangspunkt verwendet, um aus einer erwarteten Torzahl Wahrscheinlichkeiten für null, ein, zwei oder mehr Tore abzuleiten.
Definition: Die Poisson-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Ereignis in einem festen Zeitraum genau k-mal eintritt, wenn es im Durchschnitt λ-mal eintritt.
Die Grundformel
Für eine angenommene durchschnittliche Torzahl λ gilt: P(X = k) = e−λ · λk / k!. Dabei ist k die Anzahl der Tore. λ kann beispielsweise aus Teamstärke, Heimvorteil und weiteren Merkmalen geschätzt werden.
Angenommen, eine Mannschaft hat einen Modellwert von λ = 1,5. Die Wahrscheinlichkeit für genau null Tore beträgt e−1,5, also ungefähr 22,3 %. Für genau ein Tor ergibt sich ungefähr 33,5 %. Diese Zahlen sind ein rein mathematisches Beispiel, keine Prognose für eine reale Begegnung. Die Grafik oben zeigt die vollständige Verteilung für zwei bis fünf Tore (25,1 %, 12,6 %, 4,7 % und 1,4 %).
Vom Teamwert zum Spielergebnis
Schätzt man für Heim- und Auswärtsmannschaft jeweils eine Torverteilung, kann man mögliche Resultate kombinieren. Aus den Resultatwahrscheinlichkeiten lassen sich Wahrscheinlichkeiten für Heimsieg, Unentschieden und Auswärtssieg berechnen. Dafür muss das Modell jedoch Annahmen treffen – etwa zur Abhängigkeit der Torzahlen.
Warum die einfache Poisson-Verteilung nicht alles erklärt
Tore sind nicht immer unabhängig. Ein Platzverweis, ein früher Führungstreffer oder eine taktische Umstellung verändert den Spielverlauf. Besonders niedrige Resultate können von einfachen Modellen unzureichend erfasst werden. Erweiterungen wie Dixon-Coles-Korrekturen oder alternative Verteilungen versuchen, solche Effekte zu berücksichtigen.
Wie prüft man die Qualität?
Ein mathematisch elegantes Modell ist nicht automatisch ein gutes Prognosemodell. Entscheidend sind Tests auf zeitlich späteren Spielen, Wahrscheinlichkeitskalibrierung und der Vergleich mit einfacheren Baselines. Für Wettmärkte muss zusätzlich untersucht werden, ob die Quoten bereits dieselben Informationen enthalten. Mehr dazu in der Methodik.
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