Over/Under und „Beide treffen“ aus der Poisson-Verteilung berechnen
Die Märkte „Über/Unter“ und „Beide Teams treffen“ gehören zu den beliebtesten Wetten im Fußball, weil sie unabhängig vom Sieger sind. Für Analysten haben sie einen weiteren Reiz: Sie lassen sich direkt aus denselben Torerwartungen berechnen wie 1X2 und Handicaps. Wer das Rechenprinzip beherrscht, kann Quoten in wenigen Minuten gegen eine eigene Schätzung prüfen. Ein Tabellenkalkulations-Ansatz dafür wird auch auf dem Wettblog von Crimson Corporation beschrieben. Unsere Darstellung ist eigenständig geschrieben und rechnet mit eigenen Beispielzahlen.
Die Verteilung der Gesamttore
Eine hilfreiche Eigenschaft der Poisson-Verteilung ist ihre Additivität: Sind die Tore der Heimmannschaft poissonverteilt mit Erwartung λH und die der Gäste mit λA, und sind beide unabhängig, dann ist die Summe wieder poissonverteilt, mit der Erwartung λH + λA. Für Über/Unter-Märkte genügt deshalb eine einzige Verteilung. Man braucht keine Ergebnismatrix wie bei 1X2, sondern nur die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2, 3 … Gesamttore. Die Grundlagen der Verteilung stehen im Beitrag Poisson-Verteilung im Fußball berechnen.
Definition: Über 2,5 bedeutet drei oder mehr Tore insgesamt, Unter 2,5 bedeutet null, eins oder zwei Tore. Da es keine halben Tore gibt, kann die Wette bei einer halben Linie nie unentschieden enden.
Über und Unter: ganze und halbe Linien
Bei einer halben Linie wie 2,5 gewinnt genau eine Seite. Die Wahrscheinlichkeit für „Unter“ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 und 2 Tore, „Über“ ist das Komplement. Bei einer ganzen Linie wie 2,0 gibt es einen dritten Fall: Fallen genau zwei Tore, wird der Einsatz erstattet. Dann muss man die Erstattungswahrscheinlichkeit ausklammern, genau wie bei Draw No Bet. Wer die Logik der Erstattung verstehen will, findet sie im Beitrag Draw No Bet erklärt.
Rechenbeispiel mit 2,7 erwarteten Toren
Nehmen wir ein fiktives Spiel mit 1,6 erwarteten Heimtoren und 1,1 erwarteten Gasttoren, zusammen 2,7. Die Poisson-Wahrscheinlichkeiten für die Gesamttore betragen ungefähr: 0 Tore 6,7 %, 1 Tor 18,1 %, 2 Tore 24,5 %, 3 Tore 22,0 %, 4 Tore 14,9 %. Daraus folgt:
- Unter 1,5: 24,9 %, faire Quote 4,02; Über 1,5: 75,1 %, faire Quote 1,33.
- Unter 2,5: 49,4 %, faire Quote 2,03; Über 2,5: 50,6 %, faire Quote 1,97.
- Unter 3,5: 71,4 %, faire Quote 1,40; Über 3,5: 28,6 %, faire Quote 3,50.
Das Ergebnis zeigt, wie nah 2,7 erwartete Tore an der 50-Prozent-Grenze der Linie 2,5 liegen. Schon eine kleine Änderung der Torerwartung verschiebt die Quoten merklich: Bei 2,5 erwarteten Toren läge „Über 2,5“ bei rund 46 %, bei 3,0 bei rund 58 %. Das erklärt, warum diese Märkte so empfindlich auf Schätzfehler reagieren. Kleine Fehler in der Torerwartung werden direkt in Wahrscheinlichkeitsfehler übersetzt.
Beide Teams treffen
Der Markt „Beide Teams treffen“ (BTTS) fragt, ob beide Mannschaften mindestens ein Tor erzielen. Unter der Unabhängigkeitsannahme lässt sich das einfach berechnen: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mannschaft mindestens ein Tor erzielt, ist 1 − e−λ. Für die Heimmannschaft mit 1,6 sind das 79,8 %, für die Gäste mit 1,1 sind es 66,7 %. Das Produkt beider Werte ergibt 53,2 %. Die faire Quote für „Ja“ liegt damit bei etwa 1,88, für „Nein“ bei 46,8 % bzw. 2,14.
Beachten Sie, dass BTTS und Über/Unter nicht unabhängig sind: Wer „Über 2,5“ und „BTTS Ja“ kombiniert, wettet zweimal auf ein ähnliches Spielbild. Kombiniert man beide Märkte in einer Wette, reicht es nicht, die Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren. Dieser Zusammenhang wird im Beitrag über Kombiwetten und Marge weiter vertieft.
Viertellinien bei Über/Unter
Auch bei Über/Unter gibt es Viertellinien wie 2,25 oder 2,75. Eine Wette auf Über 2,25 teilt den Einsatz auf Über 2,0 und Über 2,5 auf. Fallen genau zwei Tore, wird die erste Hälfte erstattet und die zweite verliert, es ergibt sich ein halber Verlust. Bei drei oder mehr Toren gewinnen beide Hälften. Die faire Quote berechnet man mit derselben Bedingung wie beim Handicap: Der Erwartungswert muss null sein. Das Prinzip erklärt Asian Handicap +0,25 und −0,25 ausführlich.
Von der Rechnung zur Praxis
Wer die Märkte bewertet, sollte immer beide Seiten ausrechnen und mit den Angeboten vergleichen. Liegt die eigene faire Quote für „Über 2,5“ bei 1,97 und der Buchmacher bietet 1,85 für Über und 1,95 für Unter, dann ist keine der beiden Seiten für sich genommen ein Gewinn, weil die Marge den Vorteil auffrisst. Erst wenn das Angebot die faire Quote übersteigt, kann man von Wert sprechen, und selbst dann muss der Unterschied größer sein als die Unsicherheit der eigenen Schätzung. Nützlich ist es, die Torerwartung nicht als Punktwert, sondern als Spanne zu behandeln und die Quoten für beide Ränder zu berechnen.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, die Quote des Buchmachers als faire Quote zu behandeln. Sie enthält eine Marge, und deshalb summieren sich die impliziten Wahrscheinlichkeiten von Über und Unter auf mehr als 100 %. Wer dies ignoriert, überschätzt beide Seiten. Der zweite Fehler liegt in den Eingaben: Torerwartungen aus der Vergangenheit, die nicht an Gegner, Wetter, Aufstellung und Spielstil angepasst werden, liefern ein stumpfes Ergebnis. Der dritte ist die Wahl der Verteilung: Die Poisson-Verteilung unterschätzt in manchen Ligen die Streuung, weil es Spiele gibt, in denen sich die Tore ballen. Wie man mit solchen Fehlern in der Praxis umgeht, steht in der Methodik.
Grenzen
Selbst ein sauber gerechnetes Modell sagt nur etwas über Wahrscheinlichkeiten, nicht über das einzelne Spiel. Ein Spiel mit 51 % für Über 2,5 hat 49 % für Unter, und beide Ausgänge bleiben jederzeit möglich. Ob ein Markt Wert bietet, entscheidet erst die Differenz zwischen eigener Schätzung und Quote, siehe Expected Value bei Wettquoten. Glückssträhnen und Pechsträhnen sind normal; wie stark sie ausfallen können, zeigt Einsatzmanagement und Varianz. Sportwetten sind riskant, siehe Risikohinweise.