Poisson-Modell Schritt für Schritt: Von Saisonschnitten zur Ergebnismatrix
Das Poisson-Modell ist der Klassiker unter den Torprognosen, und es ist erstaunlich leicht nachzubauen. Wer die Grundlagen im Beitrag zur Poisson-Verteilung im Fußball kennt, kann damit in einer Tabellenkalkulation für jedes Spiel eine vollständige Ergebnismatrix erstellen. In diesem Beitrag führen wir ein einziges, fiktives Spiel in fünf Schritten durch: Von vier Saisonschnitten über erwartete Tore bis zu den fairen Quoten. Die Idee folgt der Darstellung der Poisson-Reihe im Wettblog von Crimson Corporation; die Rechnung und alle Zahlen sind eigenständig.
Schritt 1: Erwartete Tore aus Saisonschnitten
Jedes Poisson-Modell braucht für jedes Team einen Wert Lambda (λ): die erwartete Zahl eigener Tore in diesem Spiel. Der einfachste Ansatz mittelt, was das Team normalerweise erzielt, mit dem, was der Gegner normalerweise zulässt. Unser fiktives Beispiel:
- Das Heimteam erzielt zu Hause im Schnitt 1,80 Tore, der Gast kassiert auswärts 1,40.
- Der Gast erzielt auswärts im Schnitt 1,10 Tore, das Heimteam kassiert zu Hause 1,30.
Daraus folgt λHeim = (1,80 + 1,40) / 2 = 1,60 und λGast = (1,10 + 1,30) / 2 = 1,20. Die erwartete Gesamtzahl der Tore beträgt 2,80. Dieser Ansatz ist grob: Er ignoriert die Qualität bisheriger Gegner, die Länge der Saison und den Heimvorteil jenseits der Heim-/Auswärtsschnitte. Für eine erste Näherung genügt er; später lässt er sich durch Elo-Ratings oder xG-Werte ersetzen (siehe Expected Goals).
Schritt 2: Torwahrscheinlichkeiten je Team
Mit der Poisson-Formel P(k) = λk · e−λ / k! berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau k Tore. Für die beiden Teams ergibt sich:
| Tore | Heim (λ = 1,60) | Gast (λ = 1,20) |
|---|---|---|
| 0 | 20,2 % | 30,1 % |
| 1 | 32,3 % | 36,1 % |
| 2 | 25,8 % | 21,7 % |
| 3 | 13,8 % | 8,7 % |
| 4 | 5,5 % | 2,6 % |
| 5 | 1,8 % | 0,6 % |
| 6 und mehr | 0,6 % | 0,1 % |
Die Spalten summieren sich auf 100 Prozent. Man kann abbrechen, sobald der Rest unter etwa einem Prozentpunkt liegt, und die übrigen Fälle unter „mehr“ zusammenfassen.
Schritt 3: Die Ergebnismatrix
Nimmt man an, dass die Tore beider Teams unabhängig fallen, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Endergebnisses durch Multiplikation. 1:1 etwa hat 32,3 % × 36,1 % ≈ 11,7 %. Die fünf wahrscheinlichsten Ergebnisse unseres Spiels:
| Ergebnis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 1:1 | 11,7 % |
| 1:0 | 9,7 % |
| 2:1 | 9,3 % |
| 2:0 | 7,8 % |
| 0:1 | 7,3 % |
Auffällig: Selbst das wahrscheinlichste Einzelergebnis kommt nur in gut jedem neunten Spiel vor. Exakte Ergebnisse sind schwer zu treffen, daher werden aus der Matrix meist größere Märkte abgeleitet.
Schritt 4: 1X2, Over/Under und BTTS ablesen
Addiert man die Zellen der Matrix geeignet, entstehen die gängigen Märkte:
- Heimsieg: alle Zellen, in denen das Heimteam mehr Tore erzielt, etwa 46,6 %.
- Remis: die Diagonale (0:0, 1:1, 2:2, …), etwa 24,8 %.
- Auswärtssieg: alle Zellen mit mehr Gasttoren, etwa 28,7 %.
- Über 2,5 Tore: 100 % minus Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Tore insgesamt. Mit λ = 2,80 sind es 6,1 + 17,0 + 23,8 = 46,9 %, also 53,1 % für Über 2,5.
- Beide Teams treffen: (1 − 20,2 %) × (1 − 30,1 %) ≈ 55,8 %.
Weitere Märkte wie Asian Handicap lassen sich ebenso ablesen. Wie das funktioniert, zeigen die Beiträge zu 1X2 und Asian Handicap sowie zu Over/Under und BTTS.
Schritt 5: Faire Quoten berechnen
Die faire Quote ist der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit: Heimsieg 1 / 0,466 ≈ 2,15, Remis 1 / 0,248 ≈ 4,04, Auswärtssieg 1 / 0,287 ≈ 3,49. Über 2,5 liegt bei etwa 1,88, Beide treffen bei 1,79. Das sind Modellquoten ohne Marge. Ein Anbieter schlägt eine Marge auf; der Vergleich mit dem Markt sollte deshalb immer auf normierten Wahrscheinlichkeiten beruhen (siehe Wettquoten und implizite Wahrscheinlichkeiten). Ob eine Abweichung zum Marktpreis auf einen echten Informationsvorsprung oder nur auf Modellfehler hindeutet, beantwortet erst eine saubere Prüfung wie der Linienfehlertest.
Wo das Modell an seine Grenzen kommt
Das Poisson-Modell unterstellt, dass Tore seltene, voneinander unabhängige Ereignisse sind. In der Realität treten Tore etwas gehäuft auf, und das Spielstandverhalten (wer führt, spielt anders) erzeugt Abhängigkeiten. Besonders bei niedrigen Ergebnissen wie 0:0 und 1:1 weichen reale Häufigkeiten oft von der Matrix ab; Erweiterungen wie die Dixon-Coles-Korrektur adressieren genau dies. Außerdem sind die Eingangswerte unsicher: Saisonschnitte aus wenigen Spielen schwanken stark. Ein Team, das nach fünf Heimspielen 2,4 Tore im Schnitt erzielt, hat damit noch keine verlässliche Stärke gezeigt.
Dieser Beitrag dient der Information und ist keine Wettempfehlung. Eine Gewinngarantie gibt es nicht; Hinweise zu Risiken stehen unter Risikohinweise.
Fazit
Mit zwei Lambda-Werten, der Poisson-Formel und etwas Multiplikation lassen sich aus Saisonschnitten alle gängigen Fußballmärkte ableiten. Das Modell ist einfach, transparent und ein guter Ausgangspunkt, aber nur so gut wie seine Eingangswerte. Wer es ernsthaft nutzt, ersetzt die groben Schnitte nach und nach durch bessere Stärkeschätzer und prüft die Ergebnisse gegen den Markt.